Привести матрицу к ступенчатому виду
Введите матрицу A
Используйте только квадратные матрицы!
На этой странице введите матрицу, чтобы произвести проведение матрицы к треугольному виду. Таким образом вы проделаете преобразование матрицы к треугольному виду A
Будут вычислены верхнетреугольная матрица и нижнетреугольная матрицы
Если вам интересно, для чего используется приведение к треугольному виду матрицы, то смотрите калькулятор по решению систем уравнений методом Гаусса здесь
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Матрица — математический объект, представленный в форме квадратной или прямоугольной таблицы, содержащей определенное число строк и столбцов, именуемых порядками. Матрицы могут различаться размерами и содержанием. Матрицы позволяют упорядочить записи систем линейных уравнений, что ведет к удобному поиску их результатов. Работа с матрицами предполагает приведение их к стандартному виду.
В математике множество разнообразных видов матриц. Все элементы нулевой матрицы равны нулю, а число строк и столбцов может быть совершенно разным.
Матрица квадратного типа имеет одинаковое количество строк и столбцов. Матрица простейшего вида вектор-столбец имеет три численных значений, расположенных в столбец. Вектор-строка содержит три численных элементов, размещенных в одну строку. В диагональной матрице числовые значения имеют лишь элементы главной диагонали, остальные равны нулю. Начинается диагональ с элемента в правом верхнем углу и заканчивается в последнем столбце последней строки. Диагональный тип может иметь лишь квадратная матрица. Подвид диагональной матрицы — единичная, все числовые значения которой равны единицам. В канонической матрице не все компоненты основной диагонали равны единице, число строк и столбцов может быть разное, но, как и в единичной матрице, элементы, расположенные не на основной диагонали, равны нулю. Матрица треугольного типа является квадратной. Матрица, элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется нижнетреугольной. В верхнетреугольной матрице числовые значения имеют элементы, расположенные на основной диагонали и под ней. Над диагональю элементы имеют нулевое значение.
Матрица, имеющая «ступени» из нулей, называется ступенчатой. В данном типе матриц диагональ из нулей не обязательно должна быть основной. Элементы под диагональю, как и на диагонали, должны иметь нулевые значения. Элемент в углу каждой ступеньки — ненулевой. Первый ненулевой элемент строки обязательно располагается правее первого ненулевого элемента строки предыдущей. Все элементы под 1-м ненулевым элементом строки имеют нулевые значения. Если ступенчатая матрица имеет нулевую строку, строки ниже нее тоже не имеют числовых значений. Т.е нулевые строки — последние. Для приведения матрицы к ступенчатому виду следует определить ее детерминант. Задание выполнимо, если детерминант больше или меньше нуля, в противном случае (равен нулю) привести матрицу к ступенчатому виду нельзя.
Любую матрицу несложно привести к ступенчатой форме, используя следующие элементарные преобразования:
— перестановка двух строк (столбцов);
— умножение строки (столбца) на любое, кроме нуля, число;
— сложение строки (столбца) с другой (другим), умноженной (умноженным) на любое, произвольно взятое (кроме нуля) число.
Приводим матрицу к ступенчатому виду:
1. Выбираем элемент, отличный от нуля в 1-м столбце. Если выбранный элемент (ведущий) расположен не в 1-й строке, переставляем строку с ведущим элементом на первую (ведущую) строку. Если элементы 1-го столбца равны нулю, исключаем его и переходим к следующему.
2. Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент. Преобразования закончены при условии, что ведущая строка последняя.
3. К строке, расположенной под ведущей, добавляем ведущую, предварительно умноженную на число, чтобы элементы стоящей ниже строки стали равняться нулю.
4. Исключаем строку и столбец с ведущим элементом на пересечении.
Повторяем те же действия с оставшейся частью матрицы.
Привести матрицу к ступенчатому виду вам поможет онлайн калькулятор. Выберите размерность и введите значение ее элементов.
Приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду методом Гаусса
Для приведения матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, выберите нужные размеры исходной матрицы и заполните её элементы.
Другие онлайн калькуляторы
Описание онлайн калькулятора
С помощью данного онлайн калькулятора Вы сможете привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду или проверить правильность своего решения.
Треугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Описание работы онлайн калькулятора
- Минимальный размер матрицы 2х2;
- Максимальный размер матрицы 10х10;
- В поля ввода значений элементов матриц, можно вводить следующие типы чисел:
- Натуральные (0; 3; 9);
- Отрицательные (-43);
- Десятичные (1,5 или 1.5);
- Дробные (2/3).
- Максимальное количество вводимых символов 7;
- При нажатии кнопки Вывести результат» выводится результат требуемой операции.
Свои вопросы по работе данного онлайн калькулятора, Вы всегда можете задать в комментариях.
Приведение матрицы к треугольному виду
Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса и методом Барейса.
Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.
Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)
Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)
Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:
- Все нулевые строки матрицы стоят последними
- Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
- Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)
Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.
Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.
Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:
- перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
- умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
- сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».
Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):
Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:
Зануляем во втором уравнении:
Во втором уравнении больше не содержится
Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:
где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце
И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.
Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .
Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.
Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .
Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.
Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:
Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).
С отличной лекцией на эту тему можно ознакомиться здесь
»
