Привести матрицу к диагональному виду

Матрица А линейного оператора А при замене базиса преобразуется согласно формуле А’ = U -1 AU, где U — матрица перехода (см. теорему 4.6). Если речь идет об евклидовом пространстве и переходе из одного ортонормированного базиса в другой, матрица перехода U является ортогональной (см. теорему 7.5). Согласно свойству 7.2, такая матрица удовлетворяет соотношению U -1 = U T . Поэтому для случая ортонормиро- ванных базисов формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом:

Теорема 7.7. Для любой симметрической матрицы М существует такая ортогональная матрица U, что U T MU = Λ, где Λ = diag(λ1, . λn) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы М, повторяющиеся согласно их кратности.

◄ Доказательство теоремы основано на следствии 6.4, теореме 7.5 и свойстве 7.2. Согласно следствию 6.4, для симметрической матрицы М порядка n существует такая невырожденная матрица Р, что Р -1 МР = Λ = diag(λ1, . λn), где в последовательности λ1, . λn указаны все собственные значения матрицы М с учетом их кратностей. Из доказательства того же следствия вытекает, что Р является матрицей перехода между ортонормированными базисами. Поэтому Р — ортогональная матрица (см. теорему 7.5) и Р -1 = Р T (см. свойство 7.2). Следовательно, Р T МР = Р -1 МР = Λ, т.е. в качестве матрицы U в формулировке теоремы можно взять Р. ►

Преобразование (7.5) с ортогональной матрицей U иногда называют ортогональным преобразованием матрицы А. Поэтому теорему 7.7 можно сформулировать так: любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду. Чтобы найти соответствующую матрицу U, о которой говорится в этой теореме, необходимо:

1) найти собственные значения матрицы М;

2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейно независимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения;

3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;

4) выписать матрицу U, столбцами которой являются координаты векторов построенной ортонормированной системы.

Пример 7.4. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу

к диагональному виду.

1. Находим собственные значения матрицы А. Для этого составляем ее характеристическое уравнение

Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целое число может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена. Поэтому мы можем поискать корни среди чисел ±1, ±2, ±5. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что одним из корней является λ1 = 1.

Найденный корень позволяет разложить левую часть харак-теристического уравнения на линейный и квадратичный мно-жители, например, при помощи деления характеристического многочлена на х — 1 в столбик»

откуда находим оставшиеся два корня λ2 = 1, λ3 = 10. Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1.

2-3. Найдем для собственного значения λ1,2 = 1 кратности 2 два линейно независимых собственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — Е)х = 0, т.е. системы

Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первое

В качестве независимых переменных выбираем x2, х3. Фундаментальную систему решений составляют x2 = 1, х3 = 0, х1 = — 2 и x2 = 0, х3 = 1, x1 = 2, т.е. векторы

Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1,2 = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированную пару собственных векторов е1, e2 при помощи метода ортогонализации Грама — Шмидта:

Для собственного значения λ3 = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид (А — 10Е)х = 0, или

В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение, например вектор b3 = (1 2 -2) T . Нормируя этот вектор, получаем

Найденные векторы e1, е2, е3 образуют ортонормированный базис из собственных векторов.

4. Составим из найденных векторов еi матрицу

которая и является искомой.

Убедиться в том, что матрица U определена правильно, можно при помощи подстановки матрицы U и заданной матрицы А в следующее тождество:

Замечание 7.4. В случае n = 3 при λ1 = λ2 ≠ λ3 собственные векторы удобнее с точки зрения экономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (λ3 = 10 в рассмотренном примере) найти собственный вектор и нормировать его. Обозначим полученный вектор, например, е3. Затем для собственного значения кратности 2 (λ1,2 = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его. Получим вектор e1. Векторы е1 и е3 будут ортогональными согласно теореме 6.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторного произведения: е2 = e1 × е3.

Описанный прием позволяет избежать процесса ортогона- лизации. Точно так же можно не применять процесс ортогона- лизации при n = 2, так как, зная один вектор е1 ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90°. Для этого достаточно поменять две координаты вектора e1 местами, а у первой из них к тому же изменить знак. При n > 3 приемов, аналогичных описанным, нет.

Привести матрицу к диагональному виду

С помощью этого калькулятора вы сможете: получить определитель матрицы, её ранг, возводить её в степень, найти сумму и произведение матриц, вычислить обратную матрицу. Заполните поля для элементов матрицы и нажмите соответствующую кнопку.

  • Оставляйте лишние ячейки пустыми для ввода неквадратных матриц.
  • Элементы матриц — десятичные (конечные и периодические) дроби: 1/3 , 3.14 , -1.3(56) , 1.2e-4 ; либо арифметические выражения: 2/3+3*(10-4) , (1+x)/y^2 , 2^0.5 , sin(phi) .
  • Используйте ↵ Ввод , Пробел , ← , → , , ↓ для перемещения по ячейкам.
  • Перетаскивайте матрицы из результата (drag-and-drop), или даже из текстового редактора.
  • За теорией о матрицах и операциях над ними обращайтесь к страничке на Википедии.

привести матрицу к диагональному виду

матрица
3 1 1
3 2 2
1 1 1
привести матрицу к диагональному виду и записать матрицу перехода.
Я привел матрицу к диаг. виду, у меня получились λ=0 и λ=3
0 0 0
0 3 0
0 0 3

а как найти матрицу перехода?

01.06.2011, 20:41

Как привести к диагональному виду следующую матрицу?
Привести к диагональному виду следующую матрицу, осуществив преобразования подобия.

Выяснить, можно ли матрицу линейного оператора привести к диагональному виду путем перехода к новому базису
Выяснить, можно ли матрицу линейного оператора привести к диагональному виду путем перехода к.

Привести мартрицу к диагональному виду
Помогите пожалуйста привести матрицу к диагональному виду. Не могу это сделать, ничего не понятно.

Показать, что матрицы можно привести к диагональному виду
. Показать, что следующие матрицы линейных операторов в трех- мерном вещественном линейном.

Как доказать, что симметрическую матрицу можно свести к диагональному виду?
Как доказать, что симметрическую матрицу можно свести к диагональному виду? Над комплексным полем.

02.06.2011, 03:57 2

Че-то мне кажется что Вы неправильно вычислили собственные значения. У меня получилось:

В данном случае все просто. Найдите собственные векторы и составьте из них матрицу перехода. Причем если у Вас диаг. матрица такого вида:

то в матрице перехода первый столбец — это собственный вектор при , второй столбец — собственный вектор при и аналогично третий столбец.

Свойства собственных векторов

Для любого собственного значения Хк(А) существует п- кг линейно независимых собственных векторов

образующих фундаментальную систему решений однородной системы уравнений (А — ХкЕ)Х = 0. Здесь гк = г(А — ХкЕ) — ранг матрицы А — ХкЕ.

Множество всех собственных векторов А(Хк), соответствующих собственному значению Хк <А)матрицы Л, совпадает с общим решением однородной системы уравнений (Л — ХкЕ)Х = ©, т. е.

Любые два собственных вектора F и F(X2), соответствующие различным собственным значениям А, ф А2 характеристического уравнения АХЕI = 0 матрицы А, являются линейно независимыми.

Если F(A,j), F(Х2) линейно независимые, то равенство F(X<)a + + Е(А9)Р = 0 выполняется только при а = Р = 0. Предположим, что F(Xl)а + Е(А9)Р = 0 при р * 0. Так как F(Xl) и F(X2) — собственные векторы, то они удовлетворяют уравнению АХ = XX, т. е.

Умножим первое равенство на а, второе на Р и сложим, получим

По предположению F(Xx)a + Е(А9)р = 0, тогда Составим и решим систему уравнений

Так как по условию X,, * Xv а по предположению р * 0, то F(X2) = 0. Это противоречит тому, что собственным вектором может быть только ненулевой вектор.

Система собственных векторов, составленная из систем собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям АДА!), А2(Л). АП(Л), является линейно независимой.

Пример 7.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Составим систему (А — ХЕ)Х = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приравняем определитель матрицы этой системы к нулю

Раскроем этот определитель по правилу треугольника, получим характеристическое уравнение

Найдем характеристические значения матрицы А (корни этого уравнения):

Для каждого из характеристических значений найдем собственные векторы.

При = 1 система (7.1) принимает вид

Система является разрешенной. Включим в набор разрешенных неизвестных х< и хт Свободной неизвестной х3 придадим значение д’3 = 1, получим решение С(Х1) = (1, 0, -1), которое является собственным вектором.

Аналогично найдем соответствующие собственным значениям Х2 и Х3 собственные векторы

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрицу А можно привести к диагональному виду с помощью матрицы Г, если матрица Т

г АТявляется диагональной.

Для нахождения матрицы Т необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Матрицу Т составляют из собственных векторов-столбцов. Если эта матрица является квадратной, то матрицу А можно привести к диагональному виду.

Пример 7.2. Матрицу

привести к диагональному виду.

Решение. В предыдущем примере для матрицы А были найдены собственные значения

и соответствующие им собственные векторы Из этих векторов составим матрицу Т

Найдем обратную матрицу Т 1 с использованием присоединенной матрицы.

Найдем произведение матриц Т 1 АТ:

Упражнения

7.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Записать матрицу Т приводящую матрицу А к диагональному виду и Гр

Статья написана по материалам сайтов: matrixcalc.org, www.cyberforum.ru, bstudy.net.

»

Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock detector