Привести квадратичную форму к каноническому виду

Пример. Дано уравнение кривой
в системе координат (0,i,j), где и .
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: .
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
; .
Итак, имеем новый ортонормированный базис .
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

  • Вы здесь:
  • Home
  • Аналитическая геометрия
  • Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Метод собственных векторов:

Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =sumlimits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$beginx_1\vdots\x_nend=Ubeginx_1’\vdots\x_n’end.$$

Пример.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$begin11&8&2\8&5&-10\2&-10&2end.$$

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

Отсюда находим собственные числа:

$$lambda_1=9,quad lambda_2=-9, quadlambda_3=18.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-9E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin2&8&2\8&-4&-10\2&-10&-7end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin2&8\8&-4end=-8-64=-72neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin2&8\8&-4end=-72neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left2x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-4x_2-10c=0endright.Rightarrowleft2x_1+8x_2=-2c\8x_1-4x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginc\-c/2\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin1\-1/2\1end.$

Собственный вектор для собственного числа $lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+9E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin20&8&2\8&14&-10\2&-10&11end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin20&8\8&14end=280-64=216neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin20&8\8&14end=216neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left20x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1+14x_2-10c=0endright.Rightarrowleft20x_1+8x_2=-2c\8x_1+14x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c/2\c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1/2\1\1end.$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=18$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-18E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-7&8&2\8&-13&-10\2&-10&-16end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-7&8\8&-13end=91-64=27neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin-7&8\8&-13end=27neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left-7x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-13x_2-10c=0endright.Rightarrowleft-7x_1+8x_2=-2c\8x_1-13x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-2c\-2c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-2\-2\1end.$

Таким образом, мы нашли вектора

В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат:

Ответ: $A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2;$

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид , если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):

где [math]Lambda=operatorname(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)[/math] — диагональная матрица, для которой условие симметричности [math](a_=a_)[/math] матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.

Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.

Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.

Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичной формы [math]n[/math] переменных

к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

1. Выбрать такую переменную ( ведущую ), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.

Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.

Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.

2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.

3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме [math]q(y)[/math] будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная [math]x_1[/math] — ведущая (т.е. [math]a_<11>ne0[/math] и хотя бы один из коэффициентов [math]a_<12>,a_<13>,ldots, a_<1n>[/math] отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной [math]x_1[/math] (собираем все члены с [math]x_1[/math] и дополняем их сумму до полного квадрата):

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому

где [math]q_1(x_2,ldots,x_n)= a_<22>x_2^2+2a_<23>x_2x_3+ldots+a_x_n^2- a_<11>cdot!left(frac>>,x_2+ldots+frac>>,x_nright)^2[/math] — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная [math]x_1+frac>>, x_2+ldots+ frac>>,x_n[/math] — линейная форма, содержащая ведущую переменную [math]x_1[/math] . Обозначим [math]y_1= x_1+frac>>,x_2+ldots+ frac>>,x_n,[/math] [math]y_2=x_2,ldots,y_n=x_n[/math] , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду [math]w >.

Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную [math]x_1[/math] в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной [math]y_1[/math] . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.

Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.

Например, в п. 1 выделена пара переменных [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом [math](a_<12>ne0)[/math] . Тогда нужно сделать замену переменных

При этом получим новую квадратичную форму [math]widetilde(y)[/math] , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член [math]2a_<12>x_1x_2[/math] преобразуется к виду

а других членов с [math]y_1^2[/math] в новой квадратичной форме не будет.

Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами

Определители матриц отличны от нуля [math](det=1,

det=2)[/math] . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).

Пример 6.8. Привести квадратичную форму [math]q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2[/math] к каноническому виду.

1(1). В данную квадратичную форму переменная [math]x_1[/math] входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.

2(1). По ведущей переменной [math](x_1)[/math] выделяем полный квадрат:

y_3=x_3[/math] , тогда получим новую квадратичную форму [math]w >. Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.

1(2). В квадратичной форме [math]w > нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение [math]y_2y_3[/math] разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.

3(1). Заменяем выбранную пару переменных [math]y_2=z_2-z_3,

y_3=z_2+z_3[/math] . Оставшуюся старую переменную [math]y_1[/math] принимаем за соответствующую новую [math]y_1=z_1[/math] . Получаем квадратичную форму

Переходим к пункту 1 алгоритма.

1(3). В квадратичной форме [math]w > нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей [math]Lambda= operatorname(1,1,-1).[/math] .

Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены [math]x=S_1y[/math] и [math]y=S_2z[/math] с матрицами

Следовательно, матрица [math]S[/math] искомой замены [math]x=Sz[/math] находится как произведение

Получим матрицу [math]Lambda[/math] квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): [math]Lambda=S^TAS[/math] , где [math]A[/math] — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем

то есть [math]Lambda=operatorname(1,1,-1)[/math] что соответствует найденному каноническому виду.

1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных [math]y_i=alpha_iz_i

(i=1,ldots,n)[/math] в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.

2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.

Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду

Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

Две квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]A'[/math] одного и того же порядка называются конгруэнтными , если существует такая невырожденная матрица [math]S[/math] , что [math]A’=S^TAS[/math] . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).

Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, [math]M_^[/math] — главный минор k-го порядка [math](1leqslant i_1 квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) называются следующие главные миноры

где угловой минор [math]Delta_k= M_<1,2,ldots,k>^<1,2,ldots,k>[/math] k-ro порядка составлен из элементов матрицы [math]A[/math] , стоящих на пересечении первых [math]k[/math] строк и первых [math]k[/math] столбцов матрицы [math]A[/math] , т.е.

Свойства конгруэнтных матриц

1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы [math]A[/math] на невырожденную матрицу [math]S[/math] и [math]S^T[/math] равен рангу матрицы [math]A[/math] (см. следствие теоремы 3.5).

2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если [math]A=A^T[/math] и [math]A’=S^TAS[/math] , то

4. Если квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]A'[/math] связаны соотношением [math]A’=S^TAS[/math] , где матрица [math]S[/math] — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали

то все угловые миноры матриц [math]A[/math] и [math]A'[/math] равны, где в (6.15) звездочкой [math](ast)[/math] обозначаются любые числа.

Действительно, разобьем квадратные матрицы [math]A,,S[/math] и [math]A'[/math] на блоки, выделив в каждой квадратный блок в первых [math]k[/math] строках и первых [math]k[/math] столбцах:

Здесь [math]O[/math] — нулевые матрицы соответствующих размеров, а звездочкой [math](ast)[/math] обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что [math]A’_k=S_k^TA_kS_k[/math] . Учитывая, что [math]det=1[/math] для любого [math]k=1,ldots,n[/math] , по свойству 3 имеем

т.е. угловые миноры [math]Delta’_k[/math] и [math]Delta_k[/math] матриц [math]A'[/math] и [math]A[/math] равны для любого [math]k=1,2,ldots,n[/math] .

1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.

2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n[/math] в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту [math]operatornameA=operatornameLambda[/math] , но ранг диагональной матрицы [math]Lambda=operatorname(lambda_1, lambda_2,ldots, lambda_n)[/math] равен количеству ненулевых ее элементов.

Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма [math]q(x)=sum_^sum_^a_x_ix_j=x^TAx[/math] имеет ранг [math]r=operatornameA[/math] и ее угловые миноры отличны от нуля:

то ее можно привести к каноническому виду

при помощи линейной замены переменных [math]x=Sy[/math] с верхней треугольной матрицей [math]S[/math] вида (6.15).

Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную [math]x_1[/math] в качестве ведущей [math](Delta_1=a_<11>ne0)[/math] и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица [math]S_1[/math] в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей

где звездочкой [math](ast)[/math] обозначены некоторые элементы матрицы [math]A'[/math] . Заметим, что матрица [math]S_1[/math] — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем [math]Delta_2=Delta’_2[/math] , следовательно [math]Delta_2=a_<11>a’_<22>=Delta_1a’_<22>[/math] . Отсюда [math]a’_<22>= frac ne0[/math] . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа [math]r[/math] раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления [math]Lambda_i[/math] следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц [math]A[/math] и [math]Lambda= operatorname(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)[/math] соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то

Delta_r=lambda_1cdotldotscdotlambda_r[/math] . Отсюда [math]lambda_1=Delta_1,

Остальные угловые миноры равны нулю [math]Delta_=ldots=Delta_n[/math] , так как [math]operatornameA=r[/math] .

Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.

1. Составить матрицу [math]A[/math] (n-го порядка) квадратичной формы.

2. Найти первые [math]r[/math] отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если [math]Delta_1ne0,Delta_2ne0,ldots,Delta_nne0[/math] , то перейти к пункту 3, положив [math]r=n[/math] . Если [math]Delta_<11>=a_<11>=0[/math] , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если [math]Delta_1ne0,Delta_2ne0,ldots,Delta_rne0[/math] и [math]Delta_=0[/math] , где [math]0leqslant rleqslant n-1[/math] , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор [math]Delta_rne0[/math] . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.

3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы

1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена [math]x_i[/math] на [math]x_j[/math] и, одновременно, [math]x_j[/math] на [math]x_i[/math] (короче, перенумерация [math]x_ileftrightarrow x_j[/math] ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы [math]A=begin0&1\1&1end[/math] квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как [math]Delta_1=a_<11>=0[/math] . Перенумеровав переменные [math]x_1leftrightarrow x_2[/math] , получаем матрицу [math]A’=begin1&1\1&0 end[/math] , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.

2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы [math]A[/math] к ступенчатому виду.

3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы [math]S[/math] линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:

1) Составить блочную матрицу [math](Amid E)[/math] , приписав к матрице [math]A[/math] квадратичной формы единичную матрицу тех же размеров.

2) Привести левый блок [math]A[/math] к ступенчатому виду [math]A'[/math] при помощи элементарных преобразований III типа строк блочной матрицы [math](Amid E)[/math] . В результате получить блочную матрицу [math](A’mid S^T)[/math] , где [math]S[/math] — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы [math]A'[/math] равны коэффициентам в квадратичной форме (6.17):

Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби

1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): [math]A=begin1&1&-1\ 1&1&-1/2\-1&-1/2&1end[/math] .

2. Вычисляем угловые миноры [math]Delta_1=1ne0,

Delta_2=begin1&1\1&1 end=0[/math] . Получили [math]r=1 . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор [math]Delta_1[/math] . Например, [math]M_<<>_<1,2>>^<<>^<1,3>>= begin1&1\-1&-1/2end=frac<1><2>ne0[/math] . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.

Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену [math]x_1leftrightarrow x_3[/math] , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы [math]A[/math] . Получим матрицу [math]A’=begin1&-1/2&-1\ -1/2&1&1\ -1&1&1end[/math] . Применяем для нее метод Якоби.

2(1). Вычисляем угловые миноры [math]Delta’_1=1ne0,

Delta’_3=det=-frac<1><4>ne0[/math] . Найдено [math]r=3=n[/math] отличных от нуля угловых миноров.

3(1). Записываем искомый канонический вид

Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.

Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду

Составим матрицу квадратичной формы [math]A=begin 1&-1/2&-1\ -1/2&1&1\ -1&1&1end[/math] (см. пример 6.9 после перенумерации переменных [math]x_1leftrightarrow x_3[/math] ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.

1. Составляем блочную матрицу [math](Am >.

2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:

Следовательно, искомая матрица [math]S=begin1&1/2&2/3\ 0&1&-2/3\ 0&0&1 end[/math] , а коэффициенты квадратичной формы [math]w > имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы [math]A’=begin1&-1/2&-1\ 0&3/4&1/2\ 0&0&-1/3end[/math] , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство [math]S^TAS=Lambda=operatorname!left(1,,frac<3><4>,-frac<1><3>right)[/math] .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.

Пусть дана квадратичная форма

Напомним, что, ввиду симметричности матрицы

,

Возможны два случая:

1.Хотя бы один из коэффициентовпри квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2.Все коэффициенты,

но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет).

В первом случаепреобразуем квадратичную форму следующим образом:

,

где ,

а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от (n—1) переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Второй случайзаменой переменных

сводится к первому.

Пример 1:Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

и от неизвестных формапримет вид. Далее полагаем

или

. (4)

Разрешим равенства (3) относительно :

или

Последовательное выполнение линейных преобразований и, где

,

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (4). Переменные связаны с новыми переменнымисоотношениями

См также ссылку http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

С LU — разложением мы познакомились в практикуме 2_1

Вспомним утверждения из практикума 2_1

Утверждения(см.Л.5, стр. 176)

Пусть A — квадратная матрица порядка n и все главные миноры матрицы A отличны от нуля. Тогда существуют единственная нижняя треугольная матрица L=(lij), где lii =1 для всех i, j =1,2,…,n (т.е. с единицами на главной диагонали) и единственная верхняя треугольная матрица U=(uij), такие что A=LU и .

В тех же предположениях можно доказать единственность разложения матрицы A в произведение , гдеL – нижняя, S — верхняя треугольные матрицы с единицами на главной диагонали, а D – диагональная матрица.

Если A- симметричная матрица, то из следует, что

Данный скрипт призван понять роль LU в методе Лагранжа, с ним нужно работать в блокноте EDITOR с помощью кнопки F9.

А в прилагаемых ниже заданиях лучше создать свои М-функции, помогающие вычислению и осознанию задач линейной алгебры (в рамках данной работы)

Ax=X.’*A*X % получаем квадратичную форму

Ax=simple(Ax) % упрощаем ее

4*x1^2 — 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 — 3*x2*x3 + x3^2

% найдем LU разложение без перестановки строк матрицы A

% При преобразовании матрицы к ступенчатому виду

%без перестановок строк, мы получим матрицу M1 и U3

% U получается из A U3=M1*A,

M1=[1 0 0;0.5 1 0;-0.5 0 1]

% вот такой матрицей элементарных преобразований

%мы получим U3=M1*A, где

% из M1 легко получить L1, поменяв знаки

% в первом столбце во всех строках кроме первой.

L1=[1 0 0;-0.5 1 0;0.5 0 1]

A_=L1*U % вот это и есть нужное нам LU разложение

isequal(A,A_) % должно совпасть с исходной A

% Элементы, стоящие на главной диагонали U —

% это коэффициенты при квадратах yi^2

% в преобразованной квадратичной форме

% в нашем случае, есть один только коэффициент

% значит, в новых координатах будет только 4y1 2 в квадрате ,

% при остальных 0y2 2 и 0y3 2 коэффициенты равны нулю

% столбцы матрицы L1 — это разложение Y по X

% по первому столбцу видим y1=x1-0.5×2+0.5×3

% по второму видим y2=x2; по третьему y3=x3.

% если транспонировать L1,

% T — матрица перехода от к : Y=TX

% A2 – матрица преобразованной квадратичной формы

Статья написана по материалам сайтов: mathportal.net, mathhelpplanet.com, studfiles.net.

»

Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock detector