Привести к каноническому виду уравнение поверхности

Дано уравнение общего вида:

Правильно ли я привел к каноническому виду?

В этом уравнении коэффициенты равны a=1, b=1, c=1. Все верно?

Это эллипсоид или сфера?

25.02.2018, 00:47

Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных.

Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду
2)Привести уравнение поверхности второго порядка 2х2+4у2-z2-4x+6z-7=0 к каноническому виду.сделать.

Привести уравнение поверхности второго порядка каноническому виду
Будьте добры, помогите Привести уравнение поверхности второго порядка каноническому виду: а).

25.02.2018, 13:51 2 25.02.2018, 23:42 [ТС] 3

Да, согласен, поспешил, знаки упустил и еще много чего.
Получилось вот что:

где коэффициенты a=1/2, b=1/2, c=1

Сам гиперболоид находится в новой системе координат с центром О'(0;1;1)

Теперь все верно? Подскажите.

Добавлено через 37 минут
И все-таки это однополосный гиперболоид, так как мое уравнение соответствует уравнению вида

Добавлено через 6 минут
Пардон, в верхнем уравнении не (y-3)^2, а (y-1)^2

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Приведение уравнений линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду

Страницы работы

Содержание работы

§. 5. Приведение уравнений линий и поверхностей

второго порядка к каноническому виду

Известно, что для любой квадратичной формы на конечном действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид. Используя этот факт, любую линию или поверхность второго порядка можно привести к каноническому виду по следующему плану.

1. Для квадратичной части уравнения (т. е. квадратичной формы) находим канонический вид и ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к этому каноническому виду.

2. Подставляем выражение старых переменных через новые в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах совпадают с собственными значениями ее матрицы, свободный член не меняется, линейная часть преобразуется непосредственно.

3. Получили уравнение, не содержащее произведений переменных. С помощью преобразования параллельного переноса избавляемся от лишних слагаемых первых степеней и тем самым окончательно приводим уравнение к каноническому виду.

Если линия или поверхность второго порядка имеет центр симметрии, то решение задачи можно существенно упростить, поменяв местами 1-й и третий пункты, а второй тогда совсем исчезает.

Для того чтобы точка была центром симметрии поверхности второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений

(5. 3)

Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии поверхности второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле

. (5.4)

Аналогичные утверждения справедливы и для линий второго порядка (подробно обоснование см., например, в []).

Пример 1. Определить вид линии второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту линию, если ее уравнение имеет вид

. (5.5)

►В первую очередь проверим, имеет ли эта линия центр симметрии. Составляем систему линейных уравнений (5.3)

из которой находим: . Поместим с помощью параллельного переноса начало координат в точку (если в задаче используются несколько систем координат, то обязательно надо указывать, в какой именно из них вы даете координаты точки). По формуле (5.4) (подставляем координаты в левую часть (5.5)) находим . После преобразования параллельного переноса уравнение линии примет вид .

Теперь приведем к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:

, , .

Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Применим ортогональное преобразование, в результате которого оси новой системы координат будут направлены по собственным векторам. После этого уравнение примет вид (коэффициенты при квадратах совпадают с найденными собственными значениями) , или , которое задает гиперболу с полуосями 1 и 3 и осью в качестве действительной.

Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. Намечаем новое начало координат – точку . От этой точки откладываем собственные векторы и , которые задают направление новых осей. В полученной системе координат рисуем полученную гиперболу (рис.5.1). ◄

Замечания. 1. При таком способе решения нет необходимости выписывать ни преобразование параллельного переноса, ни ортогональное преобразование, т. к. мы и без непосредственной подстановки их в уравнение знаем, как оно преобразуется. Нет необходимости даже собственные векторы нормировать: ортогональное преобразование не нужно, а векторы с целочисленными координатами легче рисовать. Именно поэтому задачу приведения линии второго порядка к каноническому виду в том случае, когда эта линия имеет центр симметрии, сложной не назовешь.

Приведение к каноническому виду уравнения поверхностей второго порядка в пространстве

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+b1x+b2y+b3z+c = 0 (3.1)

где aij , bi , c — числа, причем хотя бы одно из чисел aij отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

f = a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz (3.2)

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы f. Она является симметричной, то есть, или, другими словами, aij = aij . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах — половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными , задается формулой .

Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

Теорема 1.Если матрица A — симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Пусть A — матрица квадратичной формы f. По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их , и пусть эти векторы имеют координаты

Базис назовем старым, а базис — новым. Тогда матрица перехода будет иметь вид

Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы задают направления новых координатных осей (рис. 3.1).

Тогда координаты (x, y, z) точки M являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле

Теорема 2.Пусть собственные векторы матрицы квадратичной формы f, образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам . Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид

Если мы из равенства (3.6) выпишем выражение x, y, x через новые переменные и подставим в уравнение (3.1), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид

Хотя бы одно из чисел отлично от нуля, иначе матрица A была бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

Пусть все собственные числа отличны от нуля. В уравнении (3.8) выделим полные квадраты

декартовы координаты уравнение поверхность

Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку . Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде

Здесь возможны следующие варианты.

Перенесем в правую часть и поделим обе части на , получим

Если числа отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.

Если числа положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.

Если одно из чисел отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

Если одно из чисел положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Если все числа положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.

Если одно из чисел отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на -1, получим случай 2 или случай 1.

Пусть одно из чисел равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (3.8) выделим полные квадраты по переменным .

Пусть . Преобразуем уравнение к виду

Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку .

Если числа и положительны, то это — каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Если , получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Если числа и отрицательны или , то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.

Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости c уравнением

Пусть только одно из чисел отлично от нуля. Допустим, что .Тогда в уравнении (3.8) выделим полный квадрат по переменной

Пусть хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда на плоскости возьмем две перпендикулярные прямые и . Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке O, ось направлена по оси , ось направлена вдоль второй прямой, а ось направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид

Это — уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением

Пусть . Тогда уравнение принимает вид

Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости

Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость

Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.

Рис. 3.1 Система координат

Статья написана по материалам сайтов: math.semestr.ru, vunivere.ru, vuzlit.ru.

»

Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock detector